撰文：雷达熊，DODO创始人
一个有效的市场包含巨量信息，这些信息承载了市场对价格的判断。但是链上计算资源有限，要在链上实现一个高度灵活的市场，就好像要把大象塞进冰箱。
把大象塞冰箱这种事情并不罕见，互联网历史上已经有过几次壮举。例如图像压缩，音频压缩。
压缩的本质是提取最重要的特征，抛弃不重要的细节信息。
那么，一个市场最重要的特征是什么，是流动性。流动性可以表示为一张深度图。
从下图我们看到，深度图可以抽象为两个三角形，而描述这两个三角形，只需要中间价和斜率即可。
我们盯住右边的卖盘梯形深度，它的最大特点是，被买走的BaseToken越多，价格越高。因此，这种线性深度可以表示为
行情 | LBTC 五分钟内涨幅15.06%:据数据显示：LBTC五分钟内涨幅15.06%，上涨金额为1.4107美元，现价为10.7808美元；请密切关注行情走向，注意控制风险。[2019/3/24]
其中i是第一个参数「midprice」，k是第二个参数「slope」。
B表示当前的BaseToken库存，B0表示初始BaseToken库存，(B0-B)/B0用来表示有百分之多少的BaseToken被消耗掉了。
这一公式可以使得价格随着BaseToken被卖出的数量线性增长。
但是，线性真的是描述流动性最好的方法吗？并不是，线性描述有两个局限：
真正的市场，大部分流动性集中市场中间价附近，而线性描述并没有反应这种不平衡的分布。
即使价格远远偏离市场中间价，也应该有流动性，而线性描述下的价格是有上下限的。
我们为价格曲线引入了非线性。在不扩充参数的前提下，使深度分布更符合市场规律，灵活度更高。
行情 | ETH在五分钟内快速下跌近1.5%:据Huobi数据显示，ETH在五分钟内快速下跌，跌幅近1.5%，现报146.98USDT，24小时跌幅为0.62%，行情波动较大，请做好风险控制。[2019/1/5]
最简单的非线性解决方案，就是使用乘法而非加法。
这个公式可以满足随着B的减小，P不断增大，直至无穷大。但是要怎么把斜率的影响加进去呢？
这就需要对B0/B这一项做改造了。B0/B≥1，我们用一个参数对其进行缩放，在保持此数值大于等于1的同时，可以控制它「大于1的程度」。
上式中，k的取值范围是，决定了价格的斜率。
当k=0时，价格完全不变
当k=1时，价格斜率退化到上一个版本的公式
k越大，价格变化越敏感。k越小，价格变化越不敏感。
行情 | ETH 五分钟下跌超过1%:据Bitfinex数据显示，下跌: ETH 现报价92.79美元，5分钟变化超过$1.10，波动较大，请做好风险控制[2018/12/9]
但是还有一个小问题，这里的P是边际价格，对边际价格的积分才是用户需要支付的资产数量。上式中，B0/B这项积分后出现了对数函数，这会使后续计算变得很复杂。为了避免这一麻烦，我们再进一步：
在B0/B外面加一个平方项，这样积分后就变成了一个简单的除法。
令人惊叹的是，当k=1时，这条曲线正是AMM所定义的bondingcurve。这种巧合使我们相信，这是一套更加触及市场本质的算法。
同理，对于左半边的深度图，我们用对称的做法，将basetoken替换为quotetoken，将乘法替换为除法：
我们将左右两边的深度图结合起来，就得到了PMM算法的完全版本，整理一下：
行情 | BTC五分钟内反弹1.48%:据Huobi数据显示，BTC五分钟内由7440美元快速反弹至7550美元，反弹110美元，反弹幅度约为1.48%，现报价为7530美元。[2018/8/2]
PMM算法是对Orderbook市场的高度压缩，参数简单，却极度灵活。
这使得我们在冰箱如此狭小的空间内，拥有了堪比大象的能力。
下面我来列举，通过调整参数和充提规则，这套算法可以实现哪些usecase。
UseCase1跟随外部市场价格的主动做市
这一usecase的应用场景是拥有巨大外部市场的主流币，例如ETHBTC等
PMM可以实现主动调整盘口价格，减少IL。获得比AMM更高的资金利用率，并且持有单币种就能提供流动性
设置如下：
将价格i设置为外部市场价格
将k设置为小于1的数字
允许任何人单边充提
BTC五分钟内下跌1.01%:行情显示，BTC五分钟内下跌1.01%，下跌金额为93美元，其中火币Pro价格9132美元，币安价格9122美元，OKEx价格9133美元[2018/5/8]
这一UseCase我们称之为DODOClassicPool。
UseCase2轻资本需求的自动做市算法
这一usecase应用于没有主观定价能力的长尾币市场，将定价权完全交给taker
通常来讲，长尾币都是新资产，在AMM框架下没有足够的卖盘流动性，因而导致其流动性长期匮乏
设置如下：
将价格i设置成起始发行价
任意设置k
第一笔充值可以以任意资产比例，且不改变市场价
后续充值必须按照当前资产比例同时操作两种资产
这一UseCase我们称之为DODOVendingMachine。
UseCase3完全自由的做市算法
这一usecase为那些雄心勃勃，想要大展拳脚的做市商准备。
在此usecase下，资金池的全部资金都归做市商所有。所有参数都可以调整，做市商可以根据他的判断为资产灵活定价。同时做市商可以任意充提单一币种，而不影响市场价格。
例如：
在ETH=700USDT附近做市，使用很小的k获得非常有竞争力的流动性，并赚取大量手续费。当察觉到ETH有上涨预期时，撤出ETH库存以减少单边风险。但这一操作并不削弱买盘流动性。
新资产发行项目方只提供代币而不提供资金。在1$开始销售代币。为了让更多人以合理价格买到代币，设置了较小的k，使得代币上涨温和。随后项目方发现需要使用资金，则可以直接提出资金池中的资产，而不损害卖盘流动性，即用户仍然可以买到大量廉价代币。
设置如下：
只有做市商能充提，允许单币种操作
这一UseCase我们称之为DODOPrivatePool。
UseCase4流动性众筹
我们可以将新资产发行分为两阶段：
不开启现货交易，所有参与发售的人都以相同的价格获得代币
以上一阶段的结束价格开启现货交易，使用上一阶段剩余的代币和资产建立DODOVendingMachine
这一UseCase我们称之为CrowdPooling。
UseCase5退化为AMM
当满足以下条件时，PPM算法表现和AMM相同。
设置k=1
必须按照当前价格比例同时充提两种资产
这也意味着，AMM是PMM的一种特殊情况。推导过程如下：
AMM的价格公式是xy=k，其中k是常数，x、y则分别代表两种代币的数量。为了避免字母上的歧义，我们把AMM公式中的恒定乘积定义为Const，并将其改写为y=Const/x。
其中y代表quotetoken库存，x代表basetoken库存，价格可以写为对y求导。
接下来回到k=1的PMM公式，我们可以将其写成：
我们发现，PMM价格公式的分子上为常数，分母为basetoken的库存。只要令
AMM的定价公式，与PMM的定价公式就一致了！
UseCase6稳定币交易
设置如下：
i=1
k=0.001
算法表现可以与curve相同，并且更灵活，可以比curve更接近刚性兑换，或更接近AMM。
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