派客国际投资有限公司苏文杰
摘要：本文以BitMEX交易所的数字货币期货合约的收盘价数据为基础，计算了永续合约XBTUSD和ETHUSD的收盘价的各相关系数，并利用Copula函数着重对两者的肯德尔和斯皮尔曼秩相关系数进行了估计。由Copula函数导出的秩相关系数有许多优点，比线性相关性更具优势，这为构建量化交易策略提供了可靠的依据。
各数字货币价格的相关关系是许多量化交易策略设计的基础。相关关系的计算大多使用收益率数据或收盘价数据，本文将以BitMEX交易所的永续合约XBTUSD和ETHUSD的收盘价数据为基础进行一些讨论。
一、相关系数
相关系数简介
统计学中主要有三种相关系数，分别是皮尔逊(Pearson)相关系数，肯德尔(Kendall)秩相关系数和斯皮尔曼(Spearman)秩相关系数。
1、皮尔逊(Pearson)相关系数
2、肯德尔(Kendall)秩相关系数
3、斯皮尔曼(Spearman)秩相关系数
采用皮尔逊相关系数来考察永续合约XBTUSD和ETHUSD的相关程度
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1、基于周期为1分钟的收盘价
以下用UTC时间2019年5月5日上午6：39所获取的最近的750个BitMEX交易所的每分钟收盘价来计算永续合约XBTUSD和ETHUSD的皮尔逊相关系数，其散点图如下图所示：
图1
在图1中，可见XBTUSD和ETHUSD永续合约的收盘价具有较强的正相关关系，其相关系数的值为0.877.
2、基于各周期的收盘价
对于各周期的收盘价而计算的各皮尔逊相关系数如下表所示。由此表可知，XBTUSD和ETHUSD永续合约的收盘价在不同周期中均具有较强的正相关关系。
鉴于我们的量化策略没有在低频领域中实施，故比较关心的是基于分钟级别的收盘价所展现出来的相关关系。
采用肯德尔秩相关系数和斯皮尔曼秩相关系数
同样在UTC时间2019年5月5日上午6：39，根据最近的750个每分钟收盘价计算出永续合约XBTUSD和ETHUSD的肯德尔秩相关系数为0.6199，斯皮尔曼秩相关系数为0.7788。
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二、基于Copula函数的相关性测度
Copula函数简介
Copula理论和方法的应用已经在国内金融、保险等领域广泛展开，使得刻画更为复杂的多变量联合分布成为可能。
Copula函数的分类-
EricZivot和JiahuiWang(2006)认为金融相关性分析中常用的Copula函数主要有四大类：椭圆Copulas、阿基米德Copulas、极值Copulas。
其中椭圆和阿基米德Copulas是按Copula函数所属性质进行划分。椭圆Copula可以由椭圆分布得到，很容易从二元情形推广到多元情形。各个阿基米德族Copula可以由相应的生成元函数得到，并且当生成元函数满足一定条件时，可以得到多元阿基米德Copula。极值Copula函数根据相依函数的产生不同而不同。
下文仅简要介绍椭圆Copula函数族和阿基米德Copula函数族。
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1、椭圆Copulas函数族
椭圆Copulas函数可以由椭圆分布得到，且秉承了椭圆分布函数的优良性质，因而是研究金融市场相依结构的基本模型。椭圆Copulas函数的两个主要成员是正态Copula函数和t-Copula函数。
椭圆Copulas函数的优点是可以构造不同相依程度的边缘分布的Copula函数，由于其分布性质简单，且模拟较易实现，广泛应用于金融领域。其缺点是其分布函数没有封闭的表达形式且都是径向对称的，由于存在对称的尾部相关性，故无法捕捉到金融市场之间非对称的相关关系。
它们在中心区域的差别并不大，差别主要体现在其尾部的厚度。
通常情况下，正态Copula函数可以较好地拟合数据。在其分布的尾部，任意两个随机变量是渐近独立的，而当极值事件发生时，金融市场间尾部相关性往往都会增强，此时如果用正态Copula函数进行投资组合的相关计算常常会低估风险。
相比于正态Copula函数，t-Copula函数能捕捉到序列间的尾部相关性，对极端情形的描述能力更强。t-Copula函数的自由度参数越大，其尾部越薄，当其自由度超过30时，其尾部相依形状非常接近于正态Copula函数。
2、阿基米德Copulas函数族。
阿基米德Copulas函数族是非常重要的一类Copula函数，其较椭圆Copula函数的便利之处在于可将多元变量之间复杂的相依结构转换为一个相对简单的生成函数，或称为阿基米德Copulas函数的生成元，它源于一个母函数，可将复杂的多维问题转换为一个一维问题，从而有利于对实际问题的求解和估计。
基于Copula函数的相关性测度
经典的金融分析模型对金融相关性的研究只集中在相关程度的分析上，如建立在正态性或椭圆型的皮尔逊线性相关系数。但它只能描述变量间线性的相关程度，而无法刻画非线性的相关模式。大量的研究表明仅用相关程度来描述随机变量间的相关关系是不全面的。而由Copula函数导出的秩相关系数可以对联合分布的历史数据进行标准化排序，同时又无需考虑边缘分布，因而比线性相关性更具优势，应用性也更广泛。另外，秩相关性还具有在非线性单调变换下保持不变的性质。采用非参数方法时，肯德尔秩相关系数、斯皮尔曼秩相关系数等还与Copula函数中的参数有一一对应关系，因而更有利于Copula函数的参数估计。在金融风险分析中至关重要的是尾部相关性分析，常用来刻画当极端情形发生时金融市场间的相关程度，基于Copula函数的相关性度量将边际分布中包含的相关程度和相关模式的研究结合在一起，可以从程度和模式上把握金融领域中的相关性问题。
在UTC时间2019年5月5日上午6：39，根据最近的750个每分钟收盘价，仿照文献的方法，利用MATLABR2019a进行相关计算如下。
1、参数的估计
用核分布估计XBTUSD和ETHUSD收盘价的边缘分布后，若采用二元正态Copula函数，利用Matlab的Copula相关内置函数，可估计出其中的线性相关系数为0.8368；若采用二元t-Copula函数，可估计出其中的线性相关系数为0.8031，自由度约为1.65。
这里计算线性相关系数和自由度，只是为了得到对应的Copula函数的具体形式，故可得出这里的二元正态Copula函数的分布函数为
二元t-Copula函数的分布函数为
2、绘制此二元正态Copula函数和二元t-Copula函数的密度函数和分布函数图
绘图如下：
图2
图3
图4
图5
根据图2和图4可知，与二元正态Copula函数相比，二元t-Copula函数具有更厚的尾部，因此对变量间尾部相关的变化更为敏感，能够更好地捕捉金融市场间的尾部相关性。
3、秩相关系数的估计
上文估计出了Copula函数中的参数，故能够调用Copula的相关程序内置函数来估计XBTUSD和ETHUSD每分钟收盘价的肯德尔和斯皮尔曼秩相关系数，并将结果与上文由原始观测数据直接计算出的结果进行对比。现列表如下：
表2
由上表可知，按二元t-Copula函数所估计出的肯德尔和斯皮尔曼秩相关系数与按原始观测数据的计算结果更为接近，这说明了线性相关参数为0.8031，自由度约为1.65的二元t-Copula函数较好地反映了XBTUSD和ETHUSD每分钟收盘价之间的秩相关性。
三、结论与讨论
本文以BitMEX交易所的数字货币期货合约的收盘价数据为基础，计算了永续合约XBTUSD和ETHUSD的收盘价的各相关系数，并利用Copula函数着重对两者的肯德尔和斯皮尔曼秩相关系数进行了估计。结果表明，二元t-Copula函数较好地反映了这两个合约每分钟收盘价之间的秩相关性。
Copula函数具有许多优良的性质，仿照上文的方法，还能够利用Copula函数来估计其他合约和XBTUSD永续合约的秩相关系数，为构建量化交易策略提供可靠的依据。
导师评语：
时至今日，数字货币领域已从单一的强波动性的比特币时代步入了指数时代。如何在指数时代中进行卓有成效的资产管理？对相关性的讨论无疑是极其重要的内容之一。本文对此做了一些基础性的工作，富有启发意义。
参考文献
陈希孺.概率论与数理统计.合肥：中国科学技术大学出版社,2016.126-127
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董耀武.基于copula理论与EVT-SV模型的金融市场VaR测度研究.重庆大学博士学位论文,2011.62
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谢中华.MATLAB统计分析与应用：40个案例分析.第二版.北京：北京航空航天大学出版社,2015.236-240
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