从数学角度论证和解释 Uniswap 创始人与 Paradigm 研究团队设计的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。
最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 与 Uniswap 创始人 Hayden Adams 一起合作设计了一个全新的做市模型「时间加权做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根据其发表文章介绍，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大额订单，工作原理是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，在一定时间内使用嵌入式 AMM 平滑地执行这些交易。
关于 TWAMM 的虚拟交易所涉及的数学，Dave White 在文中并没有多费笔墨，只在最后给出了非常简单的数学结论，这对于理解 TWAMM 的数学原理非常不利。本文将重点对 TWAMM 的数学原理进行严格的论证和解释，至于 TWAMM 模型详细的设计原理，可以前往 Paradiagm 官网查看，本文不再做详述。
报告：朝鲜黑客自2017年以来已从日本窃取7.21亿美元加密资产:5月15日消息，根据Elliptic一项研究报告，自2017年以来，与朝鲜有关联的黑客组织从日本窃取了7.21亿美元的加密资产，这相当于全球此类损失总数的30%。据Elliptic称，从2017年到2022年底，朝鲜共从企业窃取了价值23亿美元的加密货币。其中，日本所占比例最大，其次是越南（5.4亿美元）、美国（4.97亿美元）和中国香港（2.81亿美元）。[2023/5/15 15:03:42]
假设 TWAMM 执行大额虚拟交易需要 N 个区块，出售 X 的池子以每区块 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每个区块 yrate 的速率出售。因此，在整个期间售出的 X 总量为 xin=Nxrate，售出的 Y 总量为 yin=Nyrate。
西班牙修改税收模型用于披露在国外持有的加密资产:2月13日消息，西班牙议会对用于申报海外加密货币和其他资产的税收模型720提出了修正案，减轻了一些与之相关的处罚。该修正案迫使纳税人披露在国外持有的加密货币和其他类型的资产。修订包括纳税人将只对过去四个纳税期的债务负责。提议的另一个重大变化是将适用于纳税人的罚款的变化。从上述罚款来看，新的制裁符合现行一般税法的规定。（News Bitcoin）[2022/2/13 9:49:06]
同时，我们将此时间段嵌入 AMM 的初始储备 xreserve 和 yreserve 分别表示为 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。
按照 TWAMM 的设计，大额订单是随着区块进行交易的，每个区块出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同时 AMM 会更新 xreserve 和 yreserve 的值，整个过程总共交易 N 次。
印度经济事务部长：正在制定对加密资产的适当政策:金色财经报道，印度经济事务部长 Ajay Seth在回答有关政府是否会在议会预算会议上引入加密货币监管的问题时，Seth表示：监管或禁令，无论是什么，正在制定对加密资产的适当政策响应。
关于何时引入加密立法，Seth表示：多长时间？我无法用手指来说明。我不认为这在预算会议上肯定会发生。这项工作正在进行中。经济事务部长进一步透露了印度政府目前在敲定加密货币立法方面正在做的事情。（news.bitcoin）[2022/2/6 9:33:50]
值得注意的是，AMM 的每个区块交易总是遵循恒定乘积做市。
首先，在执行第 n-1 区块的交易后，我们假设此时 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分别为 xn-1 和 yn-1。
法国在政府债券交易中测试加密资产:金色财经报道，英国金融时报援引Euroclear France副CEO Isabelle Delorme的话表示，法国利用债券交易中测试了数字资产和区块链技术。包括法巴银行、法兴银行在内的银行利用法兰西银行发行的数字货币进行了为期10个月的实验的一部分。银行将政府债券作为证券“代币”进行交易，并用法国央行提供的加密货币进行结算。Delorme表示：“我们共同成功地衡量了这项技术的内在好处，并得出结论用央行数字货币结算央行货币是安全可靠的。” （英国金融时报）[2021/10/19 20:39:29]
接下来执行第 n 区块的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分别向 AMM 输入 xrate 和 yrate，命：
德国财政部支持就比特币监管展开对话:据德国经济周刊报道，德国财政部支持就比特币监管展开对话。[2018/1/19]
因为 xrate 和 yrate 非常微小，且区块的交易 AMM 遵循恒定乘积做市商，我们可以得到，
化简，
在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我们进一步可以获得 n 区块的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，
通过观察，我们发现 xn*yn=xn-1*yn-1，这正好符合 AMM 的循恒定乘积做市的前提要求。
令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，这是一个常数。
先对 xn 求得一般公式，并获得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。
yn 的分式线性递归表达式如下：
首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，则
计算得到，
而，
xin 等于 0，yin 不等于 0 时，讨论同上。
若 xin 和 yin 都不等于 0，对于一般的分式线性递归，我们可以采用不动点的方法求解。
进一步计算，
TWAMM 的基本假设是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，也即是 N 可以取无穷大，这时候可以获得 xN 的极限值。
其中，
相似的，
最后，经过简单的验证 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然满足 AMM 的恒定乘积。
至此，我们完成了 TWAMM 的数学原理严格的论证和解释，并得到了与 「时间加权做市商 TWAMM」 一文完全相同的结论。
撰文：luffy
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