Uniswap v3 在恒定乘积曲线 x*y=k 的基础上增加了粒度控制功能（《对 Uniswap v3 的研究》（2021 年第 33 期））。流动性提供者（LP）可以选择将资金集中在交易最频繁的区间内，以实现集中流动性和提高资金利用率，而 Uniswap v3 为流动性提供者的头寸创建 ERC-721 合约。
我把 Uniswap v3 的这种做法称为条件流动性（Conditional Liquidity），即在一定条件下才存在的流动性。条件流动性在传统金融领域中不存在。那么，AMM 为什么可以支持条件流动性？条件流动性对 AMM 乃至一般的 DeFi 领域有什么影响？对这两个问题的研究，有助于我们深入理解 AMM 和流动性的本质。
《AMM 的一般理论》（2021 年第 31 期）研究了 AMM 的一般形式。与这篇文章一样，本文也只研究针对两种加密资产的 AMM，分别称为 X 和 Y，并以加密资产 X 为记账单位，也就是所有价格、市值的单位均为加密资产 X。
现场丨邹传伟：数字人民币支付将没有在案、离岸和跨境支付之分:金色财经现场报道，由Web3基金会主办的Web3大会10月29日在上海举行。万向区块链实验室首席经济学家邹传伟在会上发表主旨演讲表示，中国的DC/EP在零售型CBDC项目中处于全球领先地位。零售型CBDC用于跨境支付可以完全不依赖与商业银行总结功能，钱包没有境内境外之分，支付也没有在案、离岸和跨境支付之分。但是，使用零售型CBDC还是批发型CBDC来用于跨境支付还需要进一步研究。[2020/10/29]
AMM 的状态体现为流动性池中两种加密资产的数量，假设在某一时刻为 (x,y)。在 AMM 的一般形式下，不管两种加密资产之间如何交易（不考虑交易手续费的影响，下同），流动性池始终满足
邹传伟：DC/EP跨境支付需研究两个问题:9月1日消息，近日，河北省政府印发《中国（雄安新区）跨境电子商务综合试验区建设实施方案》。雄安新区探索数字货币跨境支付，万向区块链首席经济学家邹传伟表示，DC/EP跨境支付还需研究两个问题：第一，在完善KYC程序和要求前提下，提高境外居民和机构开立DC/EP钱包的便利性；第二，如果境外居民和机构对DC/EP的需求很高，人民银行要与所在国家的中央银行合作，以尊重对方的货币主权。DC/EP应以开放友好的方式走向世界。（第一财经）[2020/9/1]
其中 f 是关于 x 的单调递减凸函数。
假设投资者用数量为△x 的加密资产 X，向 AMM 换取数量为△y 的加密资产 Y。这笔交易完成后，流动性池的状态变为 (x+△x,y-△y)，并且满足。这等价于
万向区块链邹传伟：区块链兼有信息互联网和价值互联网的功能:万向区块链首席经济学家邹传伟表示，很多研究者把区块链称为价值互联网。这个说法不全对。区块链实际上兼有信息互联网和价值互联网的功能。区块链应用于供应链管理、防伪溯源、精准扶贫、医疗健康、食品安全、公益和社会救助等场景，主要体现区块链作为信息互联网的功能，是用公共账本来记录区块链外商品、药品、食品和资金等的流向，让上下游、不同环节相互校验，穿透信息“孤岛”，让全流程可管理。这类应用在很多场合也被称为“无币区块链”，它们共同的关键特征是：区块链本身不涉及价值流转（指资产产权或风险转移），而是记录区块链外的价值流转。（新浪财经）[2020/7/1]
万向区块链邹传伟：在DC/EP中区块链用于数字货币的确权登记 居于辅助地位:万向区块链首席经济学家邹传伟表示，支付系统（乃至金融基础设施）分为账户范式和Token范式，前者以银行账户体系为代表，后者以区块链为代表。邹传伟分析认为：DC/EP发行登记子系统由中央银行负责维护，是中心化的，不需要运行共识算法，这样就不会受制于区块链的性能瓶颈。在DC/EP中，区块链用于数字货币的确权登记，居于辅助地位，比如网上验钞功能。邹传伟也曾表示，DC/EP和现金的投放路径类似，二元体系设计考虑了商业银行利益，预计会进一步推动商业银行去拓展零售支付和零售业务。（中国经营网）[2020/4/26]
在流动性池状态为 (x,y) 时，一单位加密资产的瞬间价格为
万向区块链邹传伟：第三方支付可在数字货币应用推广中发挥作用:万向区块链、PlatON首席经济学家邹传伟表示，数字货币中，人民银行在做好技术标准和应用规范的基础上，支付路径、支付条件以及之上的商业应用会交给市场来做。尽管从支付清算基础设施的角度看，数字货币与第三方支付不一样，但第三方支付目前对各种应用场景的渗透以及建立的收单系统，可以在数字货币的应用推广中发挥积极作用。（21世纪经济报道）[2020/4/22]
以上 (1)-(3) 是从流动性池状态的角度理解 AMM 的三个最基本关系。对 AMM 还可以从另外两个角度理解，并且都能给出关于 AMM 内在逻辑的新洞见。
第一，从投资者的角度。投资者可以将 AMM 视为一个「黑盒」，主要关心用数量为△x 的加密资产 X 向 AMM 换取加密资产 Y 时，能换来多少。如果两个 AMM 对同样数量的加密资产 X，总能提供同样数量的加密资产 Y，那么站在投资者的角度，这两个 AMM 就是相互等价的。
图 1：Uniswap v3 的流动性池
第二，从流动性提供者的角度。流动性提供者关心的问题，在某一个价格水平上，要支持 AMM 活动，需要提供多少流动性。从 (1) 和 (3) 可以看出，流动性池可以表达成关于瞬间价格 p(x) 的函数：
但对流动性的优化使用也是有成本的，主要体现为 Uniswap v3 离不开一个个具体的区间。但只有在区间内，投资者的感受是一致的。除了瞬间价格和平均价格以外，投资者关于的另一个重要指标是交易对瞬间价格的影响，也就是如下定义的滑点函数：
可以证明，对和 Uniswap v3，滑点函数都等于
AMM 对条件流动性的支持来自两个方面。
第一，加密资产价格是连续变化的，在任何时间段内，交易只会发生在局部价格区间，流动性提供者只需要提供这个区间内的流动性就能支撑 AMM 运行。如果 AMM 使用的是全局流动性，那么在任何价格区间必然会形成「死库存」，降低流动性使用效率。Uniswap v3 通过清除「死库存」，减轻了流动性提供者的负担，但在局部价格区间内为投资者提供了相同的交易功能，因此属于帕累托改进。
第二，智能合约的应用，使流动性提供者可以针对未来可能的情况有差异性地提供流动性。如果流动性提供者足够理性，那么流动性在不同价格区间上的分布就会有效反应市场对价格走向的预期。在那些可能性较高的价格区间，会聚集更多流动性。根据 (10)，这会降低滑点函数（k 变大，s 降低），从而为投资者带来更好的交易体验。选择这些价格区间的流动性提供者，会分享更多交易带来的手续费。而在那些可能性较低的价格区间，流动性提供者相当于向投资者提供了一个尾部保险。这样，市场机制驱动流动性的供给，能最大化流动性配置效率。当然，这个过程中也伴随着流动性提供者之间的复杂博弈。
类似逻辑对其他 DeFi 领域也成立。DeFi 项目使用超额抵押来管理去中心化、去信任化环境中的信用风险，将信用风险转化为因超额锁定抵押品而造成的流动性风险，并根据加密资产价格变化来动态监控抵押品的充足程度。但超额抵押品主要针对加密资产价格大幅下跌的情况，在加密资产价格上升的情况下，信用风险不高。因此，可以考虑在使用超额抵押的 DeFi 项目中，通过智能合约引入条件抵押品。比如，仅在加密资产价格跌到一定程度时，才作为抵押品，在其他时候则可以自由使用。这样就能提高抵押品使用效率。条件抵押品本质上相当于为加密资产价格大幅下跌的情况提供尾部保险。
综上所述，在 DeFi 领域，可以使用智能合约让同一份加密资产在未来不同情况下发挥不同作用。比如，一个 ETH 持有者可以承诺在某一价格区间中为 AMM 提供流动性，同时承诺在 ETH 价格下跌到一定程度时为一个去中心化借贷平台提供抵押品。只有这两个情景不会同时发生，这种「一物二用」的做法就是成立的。本质上，这是 Arrow-Debreu 证券的思想在 DeFi 领域的应用，会为 DeFi 带来新的创新空间。
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