最近研究了下零知识证明算法-PLONK。肚子里的墨水又增加了，借此记录学习成果与心得体会---ZkSwap小白。
现状
近些年，各种新的零知识证明算法层出不出，各有各的特点，各有各的优势。借用V神系列文章里的一张图来简单呈现下当前的零知识证明算法现状。
从图中可以简单总结出以下几点：
理论上安全性最高的是STARKs算法，不依赖数学难题假设，具有抗量子性；Proof大小上最小的是SNARKs算法，如Groth16;PLONK算法在安全性上和Proof大小上，位于上述两者之间；其他的这里不做过多阐述，如想了解零知识证明更多信息，可参考链接；对于SNARKs算法，绕不开的一个点就是中心化的TrustSetup，也称之为CRS(theCommonReferenceString)。而无论是PGHR13,Groth16,还是GM17算法，它们的CRS都是一次性的，不可更新的。即：不同的问题将对应着不同的CRS，这在某些场景下，会变得比较麻烦。这些存在的问题，变了PLONK，SONIC这类算法的一个优势，它们算法虽然也需要中心化的可信设置，但是它的CRS具有一定的普适性。即：只要电路的大小不超过CRS的上限阈值，一些证明问题就可以共用一个CRS，这种CRS称之为SRS(universalStructuredReferenceString)，关于SRS的定义，详细的可参考SONIC协议里的第3小节。PLONK算法继用了SONIC算法的SRS的思想，但是在证明的效率上，做了很大的提升。接下来，让我们详细的介绍下PLONK算法的具体细节，主要从下面四个小节去分享：
以太坊L2总锁仓量涨至94亿美元 zkSync Era突破2亿美元:金色财经报道，据L2BEAT数据显示，当前以太坊Layer2总锁仓量涨至94亿美元，7日涨幅5.64%。其中，锁仓量前五分别为：ArbitrumOne（61.6亿美元，7日涨幅4.63%）；Optimism（20.1亿美元，7日涨幅5.03%）；dYdX（3.47亿美元，7日涨幅2.03%）；zkSyncEra（2.01亿美元，7日涨幅79.628%）；ImmutableX（1.31亿美元，7日涨幅2.43%）。[2023/4/11 13:56:14]
电路的设计--描述PLONK算法的电路的描述思想；置换论证或者置换校验--复制约束，证明电路中门之间的一致性；多项式承诺--高效的证明多项式等式的成立；PLONK协议--PLONK协议剖析；电路
zkSync 2.0 新里程碑 Fair Onboarding Alpha 即将上线:2月1日消息，基于 ZK Rollup 的以太坊二层网络 zkSync 发布推文称，zkSync 2.0 的 下一个里程碑——Fair Onboarding Alpha 即将上线，其允许开发者在封闭环境中测试代码，新的费用模型可以确保交易和区块扩容考虑系统整体成本，改善证明生成性能并修复所有审计发现。
据悉，Fair Onboarding Alpha 的持续时间将与生态系统项目一起确定。在 Fair Onboarding Alpha 期间，系统将对外部用户关闭，完成后将进入 Full Launch Alpha 阶段并对外部用户开放。[2023/2/1 11:40:27]
PLONK算法电路的描述和SONIC算法一直，具体的过程可以参考李星大牛的分享，已经写的比较详细且易懂。在这个小篇幅里，我想主要分享下我自己的两点想法：
ZKSwap于今日18:00正式开启第五期流动性挖矿:官方消息，ZKSwap将于北京时间2021年5月24日18:00开启第五期的流动性挖矿（PoL）和交易挖矿（PoT）活动，本次活动持续14天，至6月7日18:00结束。PoL总奖励约为130万ZKS，PoT总奖励约为15万ZKS。
为再度提升ZKSwap使用体验和激励ZKS持有者，本次活动延续了上一期流动性挖矿的规则，在大幅削减交易对挖矿产出的同时，把更多的挖矿奖励给到交易需求量大的交易对（整体ZKS挖矿产出降低30%），其中大部分交易对的奖励减少25%，少部分年化过高的交易对奖励降低50%。此外，ZKS单币挖矿，用户只需在L2钱包中持有ZKS即可参与挖矿（可同时参与ZKS持币生息活动）。[2021/5/24 22:38:39]
无论是什么样的电路描述方式，电路的满足性问题都要归结于2点，门的约束关系和门之间的约束关系成立；在SNARKs系列的算法里，电路的描述单元都是以电路中有效的线为基本单元，具体的原理可以参考我之前分享的文章，而在PLONK，SONIC以及HALO算法里，电路的描述单元都是以门为基本单元。这两种电路的不同描述方式带来了一定的思考。那就是，之前在研究SNARKs算法时，我们都已经相信一个事实，“多项式等式成立，就代表着每个门的约束成立”，然后推断，整个电路逻辑都是成立；在这个过程中，并没有额外的去证明门之间的一致性成立；但是在PLONK算法里，除了要证明多项式等式成立外，还要额外的用置换论证的数学方法去证明门之间的约束关系，即复制约束。为何会有这样的区别？希望有心的读者能一起在评论区探讨这个问题？我个人理解是因为电路的描述方式的不同：
ZKSwap平台TVL已超10亿美金:据官方消息，ZKSwap流动性挖矿活动于4月10日18时加码600万个ZKS奖励，价值2000余万美金。此次活动重点加码WBTC、BBTC、ETH相关交易对流动性挖矿奖励，并创新性地开放Layer2单币挖矿活动，用户仅需将对应币种充值到ZKSwap Layer2即视为成功参与单币挖矿活动。
数据显示，截至2021年4月11日10时，平台24小时内新增资产超过5亿美金，TVL突破10亿美金。更多信息见官网。[2021/4/11 20:07:03]
PLONK算法里，电路描述的单元是门，它为每个门定义了自己的L,R,O，因此需要证明门之间的一致性；SNARKs算法里，电路描述的单元是线，门与门之间的值用的是同一个witness，因此不用额外证明一致性；置换论证
前面我们说过，在PLONK算法里，需要去证明门之间的约束关系成立。在做具体的原理解释之前，我们先简单的过一下PLONK协议的过程，如下图所示：
ZKSwap将临时移除Uniswap上的流动性:2021年2月5日 据ZKSwap（zks.org） 团队透露，ZKS 将在接下来的72小时内，完成4次快照和空投发放，并在第一次快照之前的24小时内，短暂移除Uniswap 上的流动性池子（ZKS/USDT），并在空投的4000万ZKS 发放完毕的48小时之内，重新添加Uniswap 的流动性池子，考虑到本次空投后，ZKS 流通量从4000万个增加到8000个，为了避免价格的剧烈变化，重新添加Uniswap流动性的时候，如果市场价格高于移除流动性时价格的50%， 那么将会按照市场价格添加流动性；如果空投后，市场价格低于移除流动性时价格的50%， 那么将会按照移除流动性时的价格的50% 添加流动性。ZKSwap 团队也希望其他在Uniswap上提供流动性的社区成员，可以暂时移除流动性，并在空投结束后，重新添加流动性。ZKSwap空投完毕后，将会全力准备ZKSwap 主网上线，并开启一系列的流动性挖矿和交易挖矿活动。[2021/2/5 18:58:15]
可描述为：
根据电路生成三个多项式，分别代表这电路的左输入，右输入，输出；利用置换校验协议，去证明复制约束关系成立；步骤3和4，校验门的约束关系成立。其中第1点已经在电路小节里阐述过了，接下来，将详细的讲解多项式置换校验的原理。先从简单的场景去讲解：
单个多项式的置换校验
其实就是证明对于某个多项式f，存在不同的两个点x,y，满足f(x)=f(y)。下面来看具体的原理：
上图中加入了一个正例P，一个反例A，方便大家理解置换校验的原理。有几点需要解释的是：
而经过仔细剖析Z的形式，不难发现，Z(n+1)其实就是两个函数所有值的乘积的比值(不知是否等同于V神文章里的坐标累加器？)。理论上是等于1。因此，我们需要设计这样的一个多项式Z，需满足：deg(Z)<nZ(n+1)=1
乘法循环群刚好可以满足这个条件，如果设计一个阶为n的一个乘法循环群H，根据群的性质可以知道Z(g)=Z(g^(n+1))。因此，在设计Z时，会保证Z(g)=1；上图中的自变量的取值也将从{1...n}变成{g...g^n}。所以在上图中验证的部分，a其实已经换成了群H里的所有元素。根据论文中的协议，多项式Z是会发给可信第三方I验证方V会从I处获取到多项式Z在所有a处的取值，然后依次校验。下面具体看一下论文中的定义：
从定义中可以看出：多项式f,g在范围内具有相同的值的集合；下面看一下论文中具体的协议部分，结合上述解释的3点：
说明：图4中的f,g对应图3中的f。即f,g是同一个多项式。其实只要是相同的值的集合，也可以不用于是同一个多项式。图3是一个特例而已。
跨多项式的校验
其实就是证明对于某个多项式f，g，存在两个点x,y，满足f(x)=g(y)。与存在两处不同：
多个多项式；不强制x,y的关系，即也可以等，也可以不等；有了(1)小节的基础，这次我们先看一下相关的定义：
从定义可以看到，这次是两个多项式集合见的置换校验算法。从标注的部分可以看出：
两个多项式集合仍然具有相同的值的结合；为了区分集合里的多项式，自变量的索引得区分开来；因此，可以想象的到，如果存在两个多项式f,g，想要证明f(x)=g(y)，那么根据以上描述可以判断{f1,f2}={f,g}={g1,g2}。也保证了上述第1点的成立。
下面我们看一下具体的原理：
和(1)小节相比，证明方P增加了些工作量，验证方V工作量不变。结合上述描述，也能很容易的理解其数学原理。
说明：至此，其实我们已经慢慢的接触到PLONK算法的核心了，前面我们讲到，电路的满足性问题除了门的约束关系还有门之间的约束关系。
比如一个输入x，它既是一个乘法门的左输入，又是另外一个乘法门的右输入，这就需要去证明L(m)=R(n)，这就是跨多项式的置换校验。
下面再给出论文里的协议内容：
至此，本篇文章已经描述了，在PLONK算法里，电路的设计以及复制约束的成立验证两大部分，接下来，将会另起一片文章，去分享门约束的成立和整个协议的具体步骤。
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