前言
Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：
用于rangeproof；用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。Rangeproof
1.预备知识
aL：表示向量{a1、a2……an}
2n：表示向量{20、21…2n-1}
<a、b>:表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值
aob：向量对应位相乘，{a1*b1……anbn}，结果是一个向量
声音 | 发改委：着力壮大数字经济生产力，促进区块链等新一代信息技术集成应用:发改委有关负责人就国家数字经济创新发展试验区有关情况答记者问时表示，培育新动能，着力壮大数字经济生产力，促进互联网、大数据、人工智能与实体经济深度融合。围绕传统产业数字化转型慢、质量不高，特别是制造业中小企业“不愿转型、不敢转型、不会转型”等问题，探索产业数字化和数字产业化共性支撑平台，促进大数据、区块链、人工智能等新一代信息技术集成应用，降低企业转型门槛，缩短转型周期，形成数字经济条件下的新型实体经济形态，培育发展新动能。（第一财经）[2019/11/6]
2.证明
Alice想要证明?v??=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：
{：V=?grhv?^v??}
声音 | 张权：国家政府大力支持区块链技术，引领传统行业数字化转型:10月25日消息，昨天总书记在中央局第十八次集体学习时强调把区块链作为核心技术自主创新重要突破口。国际数字经济研究中心数字学院执行院长、国促会数科委副秘书长、持云创始合伙人张权对此评论称，国家政府大力支持区块链技术，引领传统行业数字化转型，建立与时俱进的区块链和数字经济课程培训体系，为了减少了区块链和数字经济带来的就业摩擦，促进区块链以及数字经济产业发展和新兴技术的融合。[2019/10/26]
public-xwitness-wrelation-R
即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。
令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1、a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n?>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：
动态 | 通用和宝马使用区块链技术分享自动驾驶汽车数据:据coindesk报道，通用汽车和宝马正在支持区块链技术，作为一种在自己和其他汽车制造商之间分享自动驾驶汽车数据的方式。[2019/4/8]
等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)、(4)确保了aL?元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。
3.2n+1个约束转换成1个约束
=>预备：从Zp?中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n?。
利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：
验证者随机选取一个数y发送给证明者证明者要证明：
同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了aL?元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：
验证者随机选取一个数z发送给证明者证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：z2**<aL、2n?>+z*<aL?-1n-aR、yn>+<aL、aR?oyn?>=z2?*v(8)
至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积。
4.三个点积优化成1个点积
=>令
L=aL?-z*1n
R=(aR?+z*1n)oyn?+z2?*2n
δ=(z–z2)*<1n,yn?>-z3*<1n,2n?>
5.验证：
证明者把L/R/V发送给验证者；验证者事先算好δ验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n?>=v算出v验证者根据L、R、v、δ验证等式<L,R>=z2?*v+δ因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。
但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。
6.一个零知识证明协议
由于L、R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子sL、sR来隐藏aL，aR。如公式(10)(11)所示：
此时，定义公式(12)
可以看出系数t0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：
t0?=<L,R>=z2*v+δ
因此，问题由证明：
<L,R>=z2*v+δ
转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：
<l(x),r(x)>=t(x)
多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：
需要校验：
=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立
为了保证t(x)well-fromed，即：
t=t0?+t1x+t2x2
需要校验：
=>?当且仅当t和τx?welle-formed，等式成立
具体的协议流程图如下图所示：
总结
从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共**{l/r/t/τx?/μ/T1?/T2/A/S}**个元素给验证者，总共2n+3个Zp元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))。
附录
Bulletproofs论文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611
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