前言
在本系列的第一篇文章中，我们介绍了Bulletproofs在Rangeproof上的应用，当prover想要证明v值在范围内时，他需要发送2n+7个元素。然而，这种O(n)级的CC并不是我们想要的，希望能寻找一种方法可以把CC降低到O(log(n)级。
所以，本篇我们就主要介绍这个优化过程，主要分为两部分：
以简单的场景去阐述这个优化过程把第一篇的Rangeproof结果嵌入到优化过程注：第一篇文章由于格式的原因，公式显示会有误差，向量的特殊标记也没有显示出来，因此本篇将以图片的形式展示整个过程；另外，本文最后也附上了第一篇文章的图，帮助大家理解^_^
ImprovedRangeproof----Asimpleexample
1.预备知识
2.一个简单的场景
3.复杂度优化到O(log(n))
下图是一张基于上述过程的交互协议
有几点需要说明：
图的右半部分分为两个部分a.黄色部分为文章前面部分讲述的过程。这又分为三个部分：?i.初始化：省略了P的计算和交互的过程，我们假定开始此证明协议前，验证者已经有了一些基本的信息。这并不严谨，仅仅是为了清晰的表示后面的交互过程
?ii.LOOP：一个不断迭代的过程，每次迭代，会:
产生一对(Li,Ri)，所有向量长度减半Verifier计算P?i?/g?i?/h?i`?iii.End：最后一步，向量a,b已减半成常量a,b
?b.绿色部分为黄色部分的进一步优化，优化思想主要是多次幂乘操作缩减成单词幂乘操作，具体的是：
?i.上述LOOP中的第3步，延迟到最后一部一次性计算
ArealRangproof
回顾第一篇文章，我们知道，当我们要证明v属于时，验证者最终要验证：
对关系式做个变换：
因此，prover是要证明有向量l，r满足关系：
基于此关系，使用上述协议，就可以使rangeproof的交互复杂度降低到对数级。现在，是不是找到点内味了？
总结
本篇文章主要讲到了，BulletProof是如何把Rangeproof的CC降低到O(log(n))，并且介绍了更近一步的优化。结合第一篇文章，相信你已经对基于Bulletproofs的Rangeproof原理有了整体的了解，在本系列的第三篇文章中，将给大家分享Rangeproof的工程上实现细节。
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